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若，，x∈R，p1，p2為常數，且

(1)求f(x)＝f1(x)對所有實數x成立的充要條件(用p1，p2表示)

(2)設a，b為兩實數，a＜b且p1，p2∈(a，b)若f(a)＝f(b)

求證：f(x)在區間[a，b]上的單調增區間的長度和為(閉區間[m，n]的長度定義為n－m)

答案：
解析：

　　本小題考查充要條件、指數函數于絕對值函數、不等式的綜合運用．

　　(1)恒成立

　　(*)

　　若，則(*)，顯然成立；若，記

　　當時，

　　所以，故只需．

　　當時，

　　所以，故只需．

　　綜上所述，對所有實數成立的充要條件是

　　(2)10如果，則的圖像關于直線對稱．(如圖1)

　　因為，所以區間關于直線對稱．

　　因為減區間為，增區間為，所以單調增區間的長度和為．

　　20如果，不妨設，則，

　　于是當時，，從而

　　當時，，從而

　　當時，及，

　　由方程得，(1)

　　顯然，表明在與之間．

　　所以

　　綜上可知，在區間上，(如圖2)

　　故由函數及函數的單調性可知，在區間上的單調增區間的長度之和為，由，即，得(2)

　　故由(1)(2)得

　　綜合1020可知，在區間上的單調增區間的長度和為．


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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（x∈R，p1，p2為常數）．函數f（x）定義為：對每個給定的實數x，f(x)=
f1(x)若f1(x)≤f2(x)
f2(x)若f1(x)＞f2(x)

（1）求f（x）=f1（x）對所有實數x成立的充分必要條件（用p1，p2表示）；
（2）設a，b是兩個實數，滿足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求證：函數f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度之和為
b-a
2
（閉區間[m，n]的長度定義為n-m）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f1（x）=lg|x-p1|，f2（x）=lg（|x-p2|+2）（x∈R，p1，p2為常數）
函數f（x）定義為對每個給定的實數x（x≠p1），f(x)=
f1(x)f1(x)≤f2(x)
f2(x)f2(x)≤f1(x)

（1）當p1=2時，求證：y=f1（x）圖象關于x=2對稱；
（2）求f（x）=f1（x）對所有實數x（x≠p1）均成立的條件（用p1、p2表示）；
（3）設a，b是兩個實數，滿足a＜b，且p1，p2∈（a，b），若f（a）=f（b）求證：函數f（x）在區間[a，b]上單調增區間的長度之和為
b-a
2
．（區間[m，n]、（m，n）或（m，n]的長度均定義為n-m）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函數y=f（x）圖象上兩點，且線段P1P2中點P的橫坐標是
1
2
．
（1）求證點P的縱坐標是定值； 
（2）若數列{an}的通項公式是an=f(
n
m
)（m∈N*），n=1，2…m），求數列{an}的前m項和Sm； 
（3）在（2）的條件下，若m∈N*時，不等式
am
Sm
＜
am+1
Sm+1
恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年黑龍江省哈爾濱三中高一（上）期末數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數f1（x）=lg|x-p1|，f2（x）=lg（|x-p2|+2）（x∈R，p1，p2為常數）
函數f（x）定義為對每個給定的實數x（x≠p1），
（1）當p1=2時，求證：y=f1（x）圖象關于x=2對稱；
（2）求f（x）=f1（x）對所有實數x（x≠p1）均成立的條件（用p1、p2表示）；
（3）設a，b是兩個實數，滿足a＜b，且p1，p2∈（a，b），若f（a）=f（b）求證：函數f（x）在區間[a，b]上單調增區間的長度之和為．（區間[m，n]、（m，n）或（m，n]的長度均定義為n-m）

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