Question

在銳角△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC．
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）求表達式t=

sinB+cosC

cosB+sinC

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，得到關于a，b及c的關系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得到的關系式代入求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（Ⅱ）由第一問求出的A的度數，利用三角形的內角和定理求出B+C的度數，可設設B=

π

3

+α∈（0，

π

2

），C=

π

3

-α∈（0，

π

2

），進而求出α的范圍，把設出的B和A代入表達式t=

sinB+cosC

cosB+sinC

中，利用兩角和與差的正弦、余弦函數公式化簡，整理后再利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，最后利用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數中化為一個角的正切函數，由α的范圍求出這個角的范圍為（

π

12

，

5π

12

），根據正切函數的圖象與性質得到在此區間正切函數單調遞增，可得t的最小值為tan

π

12

和及最大值為tan

5π

12

，同時利用兩角和與差的正切函數公式及誘導公式分別求出tan

π

12

和tan

5π

12

的值，即可得到所求表達式的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC，
根據正弦定理化簡得：2a²=b（2b-c）+c（2c-b），…（1分）
即a²=b²+c²-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，…（3分）
又0＜A＜π，
∴A=

π

3

；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：B+C=π-A=

2π

3

，
設B=

π

3

+α∈（0，

π

2

），C=

π

3

-α∈（0，

π

2

），可得：-

π

6

＜α＜

π

6

，
∴t=

sinB+cosC

cosB+sinC

=

sin( π 3 +α)+cos( π 3 -α)

cos( π 3 +α) +sin( π 3 -α)

=

cosα+sinα

cosα-sinα

=

1+tanα

1-tanα

=tan（α+

π

4

），…（8分）
∵-

π

6

＜α＜

π

6

，∴

π

12

＜α+

π

4

＜

5π

12

，
又函數y=tanx在區間（

π

12

，

5π

12

）上是增函數，
∴tan

π

12

＜t＜tan

5π

12

，…（10分）
又tan

π

12

=

sin π 12

cos π 12

=

2sin2 π 12

2sin π 12 cos π 12

=

1-cos π 6

sin π 6

=2-

3

，
tan

5π

12

=tan（

π

2

-

π

12

）=

1

tan π 12

=

1

2- 3

=2+

3

，
則表達式t=

sinB+cosC

cosB+sinC

的取值范圍是（2-

3

，2+

3

）．…（12分）

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的正切函數公式，以及正切函數的單調性，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．