Question

【題目】已知平面內一個動點M到定點F(3，0)的距離和它到定直線l：x=6的距離之比是常數．

(1)求動點M的軌跡T的方程；

(2)若直線l：x+y-3=0與軌跡T交于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線與T交于C，D兩點，試問A，B，C，D是否在同一個圓上?若是，求出該圓的方程；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）四點共圓，圓方程為.

【解析】

（1）按求軌跡方法，把條件用數學關系式表示，化簡，即可求解；

（2）先求出直線與橢圓交點坐標，再求出直線垂直平分線方程，若四點共圓，此圓以為直徑，故只需證明中點與的距離是否等于.

（1）設是點到直線的距離，的坐標為，

由題意，所求的軌跡集合是，

由此得，化簡得T：；

（2）將直線方程與橢圓方程聯立，由，

得，中點，

的垂直平分線方程為，

由消去得，

設，則，

，

設線段的中點為，則，

，所以，

，

所以四點在以為圓心，以為半徑的圓上，

此圓方程為.