Question

過橢圓C：的一個焦點F且垂直于x軸的直線交橢圓于點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左、右頂點A、B，左、右焦點分別為F₁，F₂，P為以F₁F₂為直徑的圓上異于F₁，F₂的動點，問是否為定值，若是求出定值，不是說明理由？
（3）是否存在過點Q（-2，0）的直線l與橢圓C交于兩點M、N，使得（其中D為弦MN的中點）？若存在，求出直線l的方程：若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題設知c=1，①，又a²=b²+c²，即a²=b²+1②，
聯立①②解得a²=2，b²=1，
所以橢圓C的方程為；
（2）由（1）知，A（-，0），B（，0），F₁（-1，0），F₂（1，0），
設P（x₀，y₀）（x₀≠±1），則=（x₀+1，y₀），=（x₀-1，y₀），
因為P為以F₁F₂為直徑的圓上的動點，所以⊥，即•=0，
所以（x₀+1）（x₀-1）+y₀²=-1=0，即=1，
所以=（，y₀）•（，y₀）═（）•（）+y₀²=-2=1-2=-1．
故是定值，為-1．
（3）假設存在滿足條件的直線l，設直線l的方程為y=k（x+2），
由得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，則△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，即③，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，
由D為弦MN的中點，且，得FM⊥FN，即，
所以（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）•（x₂+1）+y₁y₂=x₁x₂+x₁+x₂+1+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，即（k²+1）x₁x₂+（2k²+1）（x₁+x₂）+4k²+1=0，
所以（k²+1）•+（2k²+1）•+4k²+1=0，
解得，不滿足③式，
故不存在這樣的直線l．
分析：（1）由題設知c=1，，又a²=b²+c²，聯立方程組解出即可；
（2）設P（x₀，y₀）（x₀≠±1），P為以F₁F₂為直徑的圓上的動點，所以⊥，即•=0，利用向量數量積運算可得=1，由此可算出的值；
（3）假設存在滿足條件的直線l，設直線l的方程為y=k（x+2），由得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，則△＞0③，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由D為弦MN的中點，且，得M⊥FN，即，根據向量數量積運算及韋達定理可表示為k的方程，解出k值，驗證是否滿足③式即可；
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、平面向量數量積的運算及橢圓方程的求解，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力，綜合性強，能力要求較高．