Question

如圖所示，程序框圖給出了無窮正項數列{a_n}滿足的條件，且當k=5時，輸出的S是；當k=10時，輸出的S是.

(1)試求數列{a_n}的通項公式a_n；

(2)試求當k=10時，輸出的T的值.(寫出必要的解題步驟)

Answer 1

解:(1)觀察框圖可知，數列{a_n}為等差數列，設其公差為d，

又可知，S=++…+,

由=()得S=(++…+)

=()=.

由題意可知，k=5時，S=;k=10時,S=,

∴,解得或(舍去).

∴a_n=a₁+(n-1)d=2n-1.

(2)由框圖和(1)可得當k=10時，T=1·2¹+3·2²+…+19·2¹⁰,

∴2T=1·2²+3·2³+…+17·2¹⁰+19·2¹¹,

兩式相減,可得-T=1·2¹+2·2²+2·2³+…+2·2¹⁰-19·2¹¹

=2¹+2³+2⁴+…+2¹¹-19·2¹¹

=-19·2¹¹-2=2²(2¹⁰-1)-19·2¹¹-2.

∴T=17·2¹¹+6=34 822.