Question

已知函數
（Ⅰ）若f（x）在[1，e]上的最小值為，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導，令f′（x）=0得x=-a，以-a在[1，e]內，左，右分為三類來討論，函數在[1，e]上的單調性，進而求出最值，令其等于，求出a的值，由范圍來取舍，得了a的值．
（Ⅱ）將f（x）代入不等式，分離出a，寫在不等式的左邊，設右邊為函數h（x），求導，再求導，得出導數的正負，從而得出h'（x）的單調性，求最值，得出h'（x）的正負，得出h（x）的單調性，求出h（x）的最小值，得出a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=+=令f′（x）＜0得x＜-a，令f′（x）＞0，得x＞-a，
①-a≤1，即a≥-1時，f（x）在[1，e]上單增，f（x）最小值=f（1）=-a=，a=-＜-1，不符，舍；
②-a≥e，即a≤-e時，f（x）在[1，e]上單減，f（x）最小值=f（e）=1-=，a=-＞-e，不符，舍；
③1＜-a＜e，即-e＜a＜-1時，f（x）在[1，-a]上單減，在[-a，e]上單增，f（x）最小值=f（-a）=ln（-a）+1=，a=-，滿足；
綜上a=-．
（Ⅱ）由題意，只需a＞xlnx-x³，x∈（1，+∞）恒成立，
令h（x）=xlnx-x³，h'（x）=lnx+1-3x²，h''（x）=-6x=＜0 在（1，+∞）上恒成立，
∴h'（x）在（1，+∞）上單減，又h'（1）=-2＜0，
∴h'（x）＜0 在（1，+∞）上恒成立，h（x）在（1，+∞）上單減，又h（1）=-1，
∴h（x）＜-1在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥-1．
點評：會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，要確定函數的單調性，注意分類討論思想的應用，掌握不等式恒成立時所取的條件．