Question

下列命題為真命題的個數（　　）
①若命題p：?x∈R，x²-x-1＞0則￢p：?x∈R，x²-x-1≤0
②要得到y=sin(2x+

π

3

)的圖象，可以將y=sinx橫坐標變為原來的2倍向左移動

π

3

③y=sin(2x+

π

3

)，(x∈(

π

6

，

π

2

)的值域為(-

3

2

，1)
④x＜1函數y=x+

1

x-1

的值域（-∞，-1]．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據特稱命題的否定方法，求出命題p的否定，可判斷①；根據函數圖象的變換法則，求出y=sinx橫坐標變為原來的2倍向左移動

π

3

的解析式，可判斷②；根據正弦型函數的圖象和性質，求出函數的值域，可判斷③；利用基本不等式，求出函數y=x+

1

x-1

的值域，可判斷④

解答：解：若命題p：?x∈R，x²-x-1＞0則￢p：?x∈R，x²-x-1≤0，故①為真命題；
將y=sinx橫坐標變為原來的2倍可得y=sin

1

2

x的圖象，再向左移動

π

3

可得：y=sin

1

2

（x+

π

3

）=y=sin(

1

2

x+

π

6

)的圖象，故②為假命題；
當x∈(

π

6

，

π

2

)時，(2x+

π

3

)∈(

2π

3

，

4π

3

)，當(2x+

π

3

)=

2π

3

時，函數取最大值

3

2

，當(2x+

π

3

)=

4π

3

時，函數取最小值-

3

2

，
故函數y=sin(2x+

π

3

)，x∈(

π

6

，

π

2

)的值域為(-

3

2

，

3

2

)，故③為假命題；
④當x＜1時，x-1＜0，函數y=x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1≤-2+1=-1，故函數y=x+

1

x-1

的值域（-∞，-1]，故④為真命題；
故真命題的個數有2個
故選：B

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了特稱命題的否定，圖象的變換法則，函數的值域，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．