Question

定義在R上的函數y=f(x)，f(0)≠0，當x>0時，f(x)>1，且對任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，

求證：f(0)=1；（2）求證：對任意的x∈R，恒有f(x)>0；

（3）證明：f(x)是R上的增函數；（4）若f(x)·f(2x-x²)>1，求x的取值范圍。

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）見解析（4） 0<x<3

解析:

（1）令a=b=0，則f(0)=[f(0)]²∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1

（2）令a=x，b=-x則 f(0)=f(x)f(-x) ∴

由已知x>0時，f(x)>1>0，當x<0時，-x>0，f(-x)>0

∴ 又x=0時，f(0)=1>0

∴ 對任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x₂>x₁，則f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0

 ∴

 ∴ f(x₂)>f(x₁) ∴ f(x)在R上是增函數

（4）f(x)·f(2x-x²)=f[x+(2x-x²)]=f(-x²+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上遞增

∴ 由f(3x-x²)>f(0)得：x-x²>0 ∴ 0<x<3