Question

【題目】如圖，為正三角形，且，，將沿翻折.

（1）若點的射影在上，求的長；

（2）若點的射影在中，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長.

Answer 1

【答案】（1）2 （2）.

【解析】

（1）過A作交于E，取中點O，連接，，先證明平面和，求出，，再求的長；

（2）以O為原點，以為x軸，以為y軸，以平面的過O的垂線為z軸建立空間直角坐標系， 設二面角為，，利用向量法求出，即得點坐標和的長.

（1）過A作交于E，則平面.

取中點O，連接，，

∵平面，平面，

∴，

又是正三角形，∴，

又，AE，平面，

∴平面，∴.

又，O為的中點，∴為的中點.

∵，∴，，，

∴，.

∴；

（2）取中點為過點作平面的垂線，垂足為,連接,

因為.

以O為原點，以為x軸，以為y軸，以平面的過O的垂線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設二面角為，

因為平面，與（1）同理可證平面，

，，

則，，，.

∴，，

，

設平面的法向量為，

則，

令，得.

∴，

解得.

∴，又，

∴.