Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O為AC與BD的交點，E為PB上任意一點．
（I）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小為45°，求PD：AD的值．

Answer 1

解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD
又∵AC?平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；
（II）連接OE，
∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD?平面PBD
∴PD∥OE，結合O為BD的中點，可得E為PB的中點
∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE?平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，
∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO?平面ABCD，BO⊥AC
∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE
過點O作OF⊥AE于點F，連接OF，則
∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF內的相交直線，
∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF
因此，∠BFO為二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°
設AD=BD=a，則OB=a，OA=a，
在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=
Rt△AOE中利用等積關系，可得OA•OE=OF•AE
即a•OE=a•，解之得OE=
∴PD=2OE=，可得PD：AD=：2
即PD：AD的值為．
分析：（I）根據PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，結合菱形ABCD中AC⊥BD，利用線面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，從而得到
平面EAC⊥平面PBD；
（II）連接OE，由線面平行的性質定理得到PD∥OE，從而在△PBD中得到E為PB的中點．由PD⊥面ABCD得到OE⊥面ABCD，可證出平面EAC⊥平面ABCD，進而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．過點O作OF⊥AE于點F，連接OF，證出AE⊥BF，由二面角平面角的定義得∠BFO為二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°．分別在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等積關系的三角函數定義，算出OE=，由此即可得到PD：AD的值．
點評：題給出一個特殊四棱錐，要我們證明面面垂直，并在已知二面角大小的情況下求線段的比值，著重考查了空間垂直位置關系的判斷與證明和二面角平面角的求法等知識，屬于中檔題．