Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣2|+|2x+a|，a∈R．
（1）當a=1時，解不等式f（x）≥5；
（2）若存在x0滿足f（x0）+|x0﹣2|＜3，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=|x﹣2|+|2x+1|，．

由f（x）≥5得x﹣2|+|2x+1|≥5．

當x≥2時，不等式等價于x﹣2+2x+1≥5，解得x≥2，所以x≥2；

當﹣ ＜x＜2時，不等式等價于2﹣x+2x+1≥5，即x≥2，所以此時不等式無解；

當x≤﹣ 時，不等式等價于2﹣x﹣2x﹣1≥5，解得x≤﹣ ，所以x≤﹣ ．

所以原不等式的解集為（﹣∞，﹣ ]∪[2，+∞）．

（2）解：f（x）+|x﹣2|=2|x﹣2|+|2x+a|=|2x﹣4|+|2x+a|≥|2x+a﹣（2x﹣4）|=|a+4|

因為原命題等價于（f（x）+|x﹣2|）min＜3，

所以|a+4|＜3，所以﹣7＜a＜﹣1為所求實數a的取值范圍

【解析】（1）當a=1時，根據絕對值不等式的解法即可解不等式f（x）≥5；（2）求出f（x）+|x﹣2|的最小值，根據不等式的關系轉化為（f（x）+|x﹣2|）min＜3即可求a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．