Question

已知函數f(x)的定義域為R，且對m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,當x>－時，f(x)>0.
(1)求證:f(x)是單調遞增函數；
(2)試舉出具有這種性質的一個函數，并加以驗證.

Answer 1

(1)證明略，(2)f(x)=2x+1

設x₁＜x₂,則x₂－x₁－>－,由題意f(x₂－x₁－)>0,
∵f(x₂)－f(x₁)=f［(x₂－x₁)+x₁］－f(x₁)=f(x₂－x₁)+f(x₁)－1－f(x₁)
=f(x₂－x₁)－1=f(x₂－x₁)+f(－)－1=f［(x₂－x₁)－］>0,
∴f(x)是單調遞增函數.                                    
(2)解: f(x)=2x+1。 驗證過程略.