Question

（本題滿分15分）已知數列中，，（n∈N*），
  （1）試證數列是等比數列，并求數列{}的通項公式；
（2）在數列{}中，是否存在連續三項成等差數列的項，若存在，求出所有這樣的項，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）（2）當且僅當k＝3時，b_k－1，b_k，b_k＋1成等差數列

解：（1）證明: 由，得a_n＋1＝2ⁿ—a_n，
∴,
∴數列是首項為,公比為的等比數列．………………4分
∴ , 即，
∴………………………………………………………………………7分
（2）解：假設在數列{b_n}中，存在連續三項b_k－1，b_k，b_k＋1（k∈N*, k≥2）成等差數列，則b_k－1＋b_k＋1＝2b_k，即，
即＝4……………………………………………………………10分
若k為偶數，則＞0，4＝－4＜0，所以，不存在偶數k，使得
    b_k－1，b_k，b_k＋1成等差數列。………………………………………………………13分
②若k為奇數，則k≥3，∴≥4，而4＝4，
所以，當且僅當k＝3時，b_k－1，b_k，b_k＋1成等差數列．