Question

【題目】已知函數.

（1）若，，求的最大值；

（2）當時，討論極值點的個數.

Answer 1

【答案】（1）（2）時，極值點的個數為0個；時，極值點的個數為2個

【解析】

（1）利用導數求出單調性，從而求得的最大值；

（2）先求導數，，導數的符號由分子確定，先分和討論，時，易得，當時，將看成關于的二次函數，由確定的符號，從而判斷極值點的個數.

（1）當，時，，

此時，函數定義域為，，

由得：；由得：，

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

所以.

（2）當時，函數定義域為，

，

①當時，對任意的恒成立，

在上單調遞減，所以此時極值點的個數為0個；

②當時，設，

（i）當，即時，

對任意的恒成立，即在上單調遞減，

所以此時極值點的個數為0個；

（ii）當，即時，記方程的兩根分別為，，

則，，所以，都大于0，

即在上有2個左右異號的零點，

所以此時極值點的個數為2.

綜上所述時，極值點的個數為0個；

時，極值點的個數為2個.