Question

（本小題滿分14分）
設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；
（Ⅲ）設數列的前項和為。已知正實數滿足：對任意正整數恒成立，求的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）證明見解析。
（Ⅲ）4

本小題主要考查數列、不等式等基礎知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。
（Ⅰ）當時，
又

數列成等比數列，其首項，公比是

……………………………………..3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=
又
當
當

（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數時，設
則


>
對一切大于1的奇數n恒成立
只對滿足的正奇數n成立，矛盾。
另一方面，當時，對一切的正整數n都有
事實上，對任意的正整數k，有



當n為偶數時，設
則
<
當n為奇數時，設
則
<
對一切的正整數n，都有
綜上所述，正實數的最小值為4………………………….14分