Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：（x+1）2+y2=1，圓C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．
（Ⅰ）若過點C1（﹣1，0）的直線l被圓C2截得的弦長為 ，求直線l的方程；
（Ⅱ）圓D是以1為半徑，圓心在圓C3：（x+1）2+y2=9上移動的動圓，若圓D上任意一點P分別作圓C1的兩條切線PE，PF，切點為E，F，求 的取值范圍；
（Ⅲ）若動圓C同時平分圓C1的周長、圓C2的周長，則動圓C是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設直線l的方程為y=k（+1），即kx﹣y+k=0．
因為直線l被圓C2截得的弦長為 ，而圓C2的半徑為1，
所以圓心C2（3，4）到l：kx﹣y+k=0的距離為 ．
化簡，得12k2﹣25k+12=0，解得k= 或k= ．
所以直線l方程為4x﹣3y+4=0或3x﹣4y+3=0
（Ⅱ）動圓D是圓心在定圓（x+1）2+y2=9上移動，半徑為1的圓
設∠EC1F=2α，則在Rt△PC1E中， ，
有 ，
則
由圓的幾何性質得，|DC1|﹣r≤|PC1|≤|DC1|+r，即2≤|PC1|≤4，
則 的最大值為 ，最小值為 ．
故 ．
（Ⅲ）設圓心C（x，y），由題意，得CC1=CC2 ，
即 ．
化簡得x+y﹣3=0，即動圓圓心C在定直線x+y﹣3=0上運動．
設C（m.3﹣m），則動圓C的半徑為 = ．
于是動圓C的方程為（x﹣m）2+（y﹣3+m）2=1+（m+1）2+（3﹣m）2 ．
整理，得x2+y2﹣6y﹣2﹣2m（x﹣y+1）=0．
由 得 或
所以定點的坐標為（1﹣ ，2﹣ ），（1+ ，2+ ）


【解析】（Ⅰ）設直線l的方程為y=k（+1），根據直線l被圓C2截得的弦長為 ，利用勾股定理，求出k，即可求直線l的方程；（Ⅱ）動圓D是圓心在定圓（x+1）2+y2=9上移動，半徑為1的圓，由圓的幾何性質得，|DC1|﹣r≤|PC1|≤|DC1|+r，即2≤|PC1|≤4， ，利用向量的數量積公式，即可求 的取值范圍；（Ⅲ）確定動圓圓心C在定直線x+y﹣3=0上運動，求出動圓C的方程，即可得出結論．