Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-(a-

3

2

)x2+a2x-3ax，a∈R．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設函數f（x）在區間(-

2

3

，-

1

3

)內是減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導函數，再令f'（x）=0，即x²-（2a-3）x+a²-3a=0，解得x₁=a-3，x₂=a．利用f′（x）＞0時，f（x）為增函數，當f′（x）＜0時，f（x）為減函數．可解
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）的遞減區間是（a-3，a），因為函數f（x）在區間(-

2

3

，-

1

3

)內是減函數，所以有(-

2

3

，-

1

3

)⊆(a-3，a)，從而

a-3≤- 2 3 a≥- 1 3

，故可求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

3

x3-(a-

3

2

)x2+a2x-3ax求導：f'（x）=x²-（2a-3）x+a²-3a
令f'（x）=0，即x²-（2a-3）x+a²-3a=0，解得x₁=a-3，x₂=a．
列表：

x	（-∞，a-3）	a-3	（a-3，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

即f（x）在（-∞，a-3）遞增，（a-3，a）遞減，（a，+∞）遞增     …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）的遞減區間是（a-3，a），
因為函數f（x）在區間(-

2

3

，-

1

3

)內是減函數所以有(-

2

3

，-

1

3

)⊆(a-3，a)即

a-3≤- 2 3 a≥- 1 3

，解得：-

1

3

≤a≤

7

3

．…（13分）

點評：此題考查函數的單調性與導數的關系，當f′（x）＞0時，f（x）為增函數，當f′（x）＜0時，f（x）為減函數．