Question

設A={a1 ， a2 ， … ， an}⊆M(n∈N* ， n≥2)，若a₁+a₂+…+a_n=a₁a₂…a_n，則稱集合A是集合M的n元“好集”．
（1）寫出實數集R上的一個二元“好集”；
（2）是否存在正整數集合N^*上的二元“好集”？說明理由；
（3）求出正整數集合N^*的所有三元“好集”．

Answer 1

分析：根據集合中元素滿足的性質a₁+a₂+…+a_n=a₁a₂…a_n，可驗證{-1，

1

2

}符合條件求解（1）；
對（2）可用反證法證明：在正整數集合N^*上的二元“好集”不存在；
對（3）利用不等式的放縮技巧，不妨設a₃＞a₂＞a₁，a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃＜3a₃，這樣就可限制a₁、a₂的大小，從而求出符合條件的“好集”．

解答：解：（1）∵-1+

1

2

=（-1）×

1

2

，∴A={-1， 

1

2

}．
（2）設A={a₁，a₂}是正整數集N^*上的二元“好集”，
則a₁+a₂=a₁a₂且a1 ， a2∈N*，不妨設a₂＞a₁
則a₁=a₁a₂-a₂=a₂（a₁-1），a1-1=

a1

a2

，∵0＜

a1

a2

＜1，
∴滿足a1-1=

a1

a2

的a₁∈N^*不存在；
故不存在正整數集合N^*上的二元“好集”．
（3）設A={a₁，a₂，a₃}是正整數集N^*上的三元“好集”，不妨設a3＞a2＞a1(a1，a2，a3∈N*)，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃＜3a₃⇒a₁a₂＜3，
滿足a₁a₂＜3的正整數只有a₁=1，a₂=2，代入a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃得a₃=3，
故正整數集合N^*的所有三元“好集”為{1，2，3}．

點評：本題借助新定義問題，考查集合中元素的互異性、確定性、無序性．