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已知函數是增函數.
(I)求實數p的取值范圍;
(II)設數列{an}的通項公式為,前n項和為S,求證:Sn≥2ln(n+1).
【答案】分析:(I)求得函數的定義域,利用函數為增函數,可得導數大于0,再換元,利用分離參數法,求函數的最值,即可求得實數p的取值范圍;
(II)先證明,對x≥1恒成立,從而可得,再利用對數的運算性質,即可證得結論.
解答:(I)解:由題意,,∴x≥1,∴函數f(x)的定義域為[1,+∞),
由函數f(x)是增函數,可知對x>1恒成立,…(3分)   
,則,注意到t2+1≥2t>0,所以,即
所以p≥1為所求.…(6分)  
(II)證明:由(I)知,是增函數,
所以f(x)≥f(1)=0,即,對x≥1恒成立.…(8分)
注意到,所以.…(10分)

==ln(n+1)2=2ln(n+1)
即Sn≥2ln(n+1)成立…(12分)
點評:本題考查函數的單調性,考查不等式的證明,考查利用分離參數法求參數的范圍,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x3-ax2+bx.
(1)若函數f(x)在點(2,f(2))的切線方程為5x-y-8=0,求函數f(x)的單調遞增區間;
(2)若b=-3,f(x)在x∈[1,+∞)上是增函數,求實數a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)的定義域為[-1,5],部分對應值如下表,f(x)的導函數y=f′(x)的圖象如圖所示,給出關于f(x)的下列命題:
x -1 0 2 4 5
f(x) 1 2 0 2 1
①函數y=f(x)在x=2時,取極小值;
②函數f(x)在[0,1]是減函數,在[1,2]是增函數;
③當1<a<2時,函數y=f(x)-a有4個零點;
④如果當x∈[-1,t]時,f(x)的最大值是2,那么t的最小值為0,
其中所有正確命題的個數是(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=xe-x+(x-2)ex-a(e≈2.73).
(1)當a=2時,證明函數f(x)是增函數;
(2)當x≥1時,f(x)≥
(x-1)2ex
恒成立,求實數a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)是定義域為R的偶函數,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上是增函數,那么f(x)在[1,3]上是(  )
A、增函數B、減函數C、先增后減的函數D、先減后增的函數

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科目:高中數學 來源:2015屆遼寧省本溪市高一上學期第一次月考數學試卷(解析版) 題型:解答題

(12分)已知函數是定義在上的奇函數,且,

(1)確定函數的解析式;

(2)用定義證明在(-1 ,1)上是增函數;

(3)解不等式

 

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