Question

在數列{a_n} 中，a₁=0，a_n+1=-a_n+3ⁿ，其中n=1，2，3…．
（I）求數列{a_n}  的通項公式；
（II）求

an

an+1

的最大值．

Answer 1

分析：（I）因為從數列{a_n}的遞推公式 中，不容易找到規律，可考慮用構造法構造新函數，觀察可得，a_n+1-

3n+1

4

=-（a_n-

3n

4

），所以）數列{a_n-

3n

4

}為等比數列，先求出它的通項公式，繼而求數列{a_n}  的通項公式．
（II）由（I）得到的數列{a_n}  的通項公式，可以代入

an

an+1

，化簡，再根據單調性求極值．

解答：解：（I）由a₁=0，且a_n+1=-a_n+3ⁿ（n=1，2，3，…）
得a₂=-a₁+3=3，a₃=-a₂+3²=6．       
（由a_n+1=-a_n+3ⁿ，變形得a_n+1-

3n+1

4

=-（a_n-

3n

4

），∴{a_n-

3n

4

}
是首項為a₁-

3

4

=-

3

4

公比為-1的等比數列
∴an-

3n

4

=-

3

4

（-1）^n-1∴an=

3n

4

+(-1)n

3

4

（n=1，2，3…）     
（II）①當n是偶數時，

an

an+1

=

3n 4 +  3 4

3n+1 4 - 3 4

=

3n+3

3n+1-3

=

1

3

+

4

3n+1-3

，
∴

an

an+1

隨n增大而減少，∴當n為偶數時，

an

an+1

最大值是

1

2

．            
②當n是奇數時，

an

an+1

=

3n 4 + 3 4

3n+1 4 - 3 4

=

3n-3

3n+1+3

=

1

3

-

4

3n+1+3

∴

an

an+1

隨n增大而增大且

an

an+1

=

1

3

-

4

3n+1+3

＜

1

3

＜

1

2

綜上

an

an+1

最大值為

1

2

．

點評：本題考查了構造法求數列的通項公式，以及利用數列單調性求最值，做題時應認真分析．