Question

（2012•崇明縣一模）已知函數f（x）=

x2+a

x+1

（a∈R）．
（1）用定義證明：當a=3時，函數y=f（x）在[1，+∞）上是增函數；
（2）若函數y=f（x）在[1，2]上有最小值-1，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）當a=3時，f（x）=

x2+3

x+1

，任取 x₂＞x₁≥1，化簡f（x₂）-f（x₁） 大于零，可得函數y=f（x）在[1，+∞）
上是增函數．
（2）根據題意得，f（x）=

x2+a

x+1

≥-1在[1，+∞）上恒成立，且等號能成立，故a≥-x²-x-1，求得a≥-3．當不等式中
等號成立時，a=-x²-x-1≤-3．綜合可得實數a的值．

解答：解：（1）當a=3時，f（x）=

x2+3

x+1

．
任取 x₂＞x₁≥1，∵f（x₂）-f（x₁）=

x22+3

x2+1

-

x12+3

x1+1

=

(x2-x1)(x1+x 2+x 1x 2-3)

(x1+1)(x 2+1)

．
因為 x₂＞x₁≥1，所以 （x₁+1）＞0，（x₂+1）＞0，x₂-x₁＞0，x₁+x₂+x₁x₂-3＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，所以函數y=f（x）在[1，+∞）上是增函數．
（2）根據題意得，f（x）=

x2+a

x+1

≥-1在[1，2]上恒成立，且等號能成立．
所以，a≥-x²-x-1=-(x+

1

2

)2-

3

4

．
由于函數 y=-x²-x-1在[1，2]上單調遞減，所以，x=1時，-x²-x-1取得最大值為-3，∴a≥-3．
當等式

x2+a

x+1

≥-1，且1≤x≤2，等號成立時，二次函數a=-x²-x-1=-(x+

1

2

)2-

3

4

．
由于-(x+

1

2

)2-

3

4

≤-3，所以 a≤-3，
綜上可得，a=-3．

點評：本題主要考查函數的判斷和證明，函數單調性的應用，函數的恒成立問題，屬于中檔題．