Question

數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，且3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t為常數，，t≠0，n≥2）
（1）求證：{a_n}是等比數列；
（2）設{a_n}的公比為f（t），數列{b_n}（滿足b₁=1，，求b_n；
（3）數列{c_n}的通項為，那么是否存在實數t，使得數列{（-1）ⁿc_n+c_n+1}中的每一項都大于1？若存在，求出t的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，由此能夠證明：{a_n}是等比數列．
（2）由，知．
（3）由，當n為奇數時，對所有奇數成立；當n為偶數時，對所有偶數成立，由此能夠求出存在滿足條件的實數t，t＞6或且．
解答：解：（1）由題意，可得
，
兩式相減，得3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
即
又3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，
∴，
∴
所以，{a_n}是以1為首項，為公比的等比數列；
（2），
∴；
（3）
①當n為奇數時，
若存在滿足條件的t，
則對所有奇數成立，
即對所有奇數成立，
所以，
∴或
②當n為偶數時，
若存在滿足條件的t，則對所有偶數成立，
即對所有偶數成立，
所以，
∴t＞6或
綜合之，存在滿足條件的實數t，t＞6或且．
點評：本題考查不等式和數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．