Question

已知函數f（x）對任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y）．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）若f（1）=1，且f（x）在[0，+∞）上是增函數，求滿足不等式f（2^x-x）+f（x）＞4的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對已知條件令y=0，結合等式的性質變形整理即可得到f（0）的值；
（2）令y=-x，代入已知條件并結合f（0）=0化簡整理，即可得到f（-x）=-f（x），得f（x）是定義在R 上的奇函數；
（3）根據f（1）=1進行賦值，可算出f（4）=4．再根據條件將不等式f（2^x-x）+f（x）＞4整理為f（2^x）＞f（4），最后由函數的單調性解關于x的不等式，即可得到滿足不等式的實數x的取值范圍．

解答：解：（1）取y=0，得f（x）+f（0）=f（x+0）=f（x），
∴f（0）=0；
（2）取y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴對任意x∈R，都有f（-x）=-f（x）
由此可得，f（x）是定義在R 上的奇函數；
（3）∵f（1）=1，可得f（2）=f（1）+f（1）=2
∴f（4）=f（2）+f（2）=2+2=4
不等式f（2^x-x）+f（x）＞4，可化成f（2^x-x+x）＞f（4），即f（2^x）＞f（4），
∵f（x）在[0，+∞）上是增函數，
∴2^x＞4，解之得x＞2，
即滿足不等式f（2^x-x）+f（x）＞4的x的取值范圍為（2，+∞）．

點評：本題給出抽象函數，探討函數的奇偶性與單調性，并求關于x的不等式的解集．著重考查了函數奇偶性與單調性的綜合、賦值法求抽象函數的值等知識，屬于基礎題．