Question

設函數f（x）=2x³-3（a+3）x²+18ax-8a，x∈R．
（Ⅰ）當a=-1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間[1，2]上為減函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當方程f（x）=0有三個不等的正實數解時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：先求出其導函數；
（Ⅰ）把a=-1代入導函數，根據導函數值的正負求出漢化蘇的單調區間即可求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）把問題轉化為f′（x）=6（x-3）（x-a）≤0在x∈[1，2]恒成立，再轉化為關于a的不等式，結合x的范圍即可求出實數a的取值范圍；
（Ⅲ）根據題意得到，解不等式即可得到結論．
解答：解：由題得：f′（x）=6x²-6（a+3）x+18a=6（x-3）（x-a）．
（Ⅰ）當a=-1時，f′（x）=6（x-3）（x+1）．…（1分）
令f′（x）＞0，得x＜-1或x＞3．
所以f（x）在（-∞，-1）或（3，+∞）上單調遞增，在（-1，3）上單調遞減．
當x=-1時，f（x）的最大值為f（-1）=18．
當x=3時，f（x）的最小值為f（3）=-46．…（4分）
（Ⅱ）依題意：f′（x）=6（x-3）（x-a）≤0在x∈[1，2]恒成立．…（5分）
因x∈[1，2]，（3-x）＞0，
故a≤=x在x∈[1，2]恒成立，
所以a≤x_min=1．…（8分）
（Ⅲ）顯然，x=3，x=a是極值點．
依題意，當方程f（x）=0有三個不等的正實數解時，有：

即…（12分）
所以：1＜a＜或a＞8為所求．…（14分）
點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的．