Question

【題目】已知動點到點的距離與點到直線的距離的比值為.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設為軌跡與軸正半軸的交點，上是否存在兩點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明滿足條件的的個數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，3個

【解析】

（1）設動點根據所給條件列出方程，化簡即可.

（2）由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，故可設所在直線的方程為，不妨設，則直線所在的方程為. 聯立直線與曲線方程，消元即可求出點的坐標，求出的長，同理可得，再由得到方程，解得.

解：（1）設動點，則，

所以，

平方并化簡，得.

所以軌跡的方程為.

（2）存在. 理由如下：

由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，故可設所在直線的方程為，不妨設，則直線所在的方程為.

聯立方程消去，并整理得，

解得，

將代入可得，

所以點的坐標為.

所以.

同理可得，

由，得，

所以，則，解得或.

當斜率時，斜率；當斜率時，斜率；當斜率時，斜率.

綜上所述，符合條件的三角形有3個.