Question

【題目】已知，點滿足，記點的軌跡為.斜率為的直線過點，且與軌跡相交于兩點.

（1）求軌跡的方程；

（2）求斜率的取值范圍；

（3）在軸上是否存在定點，使得無論直線繞點怎樣轉動，總有成立？如果存在，求出定點；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）根據雙曲線的定義即可求得方程；

（2）聯立直線與雙曲線方程，轉化成方程有解問題；

（3）假設存在點，聯立直線和雙曲線整理成二次方程，根據結合韋達定理求解.

（1）因為，點滿足，

所以點的軌跡為以為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，

設其方程，則，

所以軌跡的方程：；

（2）斜率為的直線過點，直線方程為，代入，

，即有兩個不等正根，

，

由得，當時，

且

即不等式組的解：

所以；

（3）假設存在，設點，使，

由（2）：斜率為的直線過點，直線方程為，代入，

，即有兩個不等正根，

，

，所以，

，對恒成立，

所以，解得，即，

當直線斜率不存在時，直線方程，此時，

，仍然滿足，

所以這樣的點存在，.