Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，右頂點為，直線過原點，且點在x軸的上方，直線與分別交直線： 于點、.

（1）若點，求橢圓的方程及△ABC的面積；

（2）若為動點，設直線與的斜率分別為、.

①試問是否為定值？若為定值，請求出；否則，請說明理由；

②求△AEF的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）①②

【解析】試題分析：（1）根據題意的離心率及點B的坐標，建立方程，求出a的值，即可求△ABC的面積；（2）①為定值，證明，由（1）得，即可得到結論；②設直線AB的方程為y=k1（x-a），直線AC的方程為y=k2（x-a），令x=a+1得，求出△AEF的面積，結合①的結論，利用基本不等式，可求△AEF的面積的最小值

試題解析：（1）由題意得解得

橢圓的方程為……………………………………………………3分

△ABC的面積.………………………4分

（2）①為定值，下證之：

證明：設，則，且.………………5分

而………………………7分

由離心率，得

所以，為定值.……………………………………………8分

②由直線的點斜式方程，得直線的方程為，直線的方程為. 令

，得， .

所以，△AEF的面積…………………………10分

由題意，直線的斜率. 由①，

于是， ，

當且僅當，即時取等號.………………………………11分

所以，△AEF的面積的最小值為.………12分