Question

【題目】隨著生活水平和消費觀念的轉變，“三品一標”（無公害農產品、綠色食品、有機食品和農產品地理標志）已成為不少人的選擇，為此某品牌植物油企業成立了有機食品快速檢測室，假設該品牌植物油每瓶含有機物A的概率為p（0＜p＜1），需要通過抽取少量油樣化驗來確定該瓶油中是否含有有機物A，若化驗結果呈陽性則含A，呈陰性則不含A．若多瓶該種植物油檢驗時，可逐個抽樣化驗，也可將若干瓶植物油的油樣混在一起化驗，僅當至少有一瓶油含有有機物A時混合油樣呈陽性，若混合油樣呈陽性，則該組植物油必須每瓶重新抽取油樣并全部逐個化驗．
（1）若 ，試求3瓶該植物油混合油樣呈陽性的概率；
（2）現有4瓶該種植物油需要化驗，有以下兩種方案： 方案一：均分成兩組化驗；方案二：混在一起化驗；請問哪種方案更適合（即化驗次數的期望值更�。�，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設X為3瓶該植物油中油樣呈陽性的瓶數，

所求的概率為 ，

所以3瓶該種植物油的混合油樣呈陽性的概率為

（2）解：設q=1﹣p，則0＜q＜1．

方案一：設所需化驗的次數為Y，則Y的所有可能取值為2，4，6次， ， ．

方案二：設所需化驗的次數為Z，則Z的所有可能取值為1，5次，P（Z=1）=q4，P（Z=5）=1﹣q4，E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）=5﹣4q4．

因為E（Y）﹣E（Z）=6﹣4q2﹣（5﹣4q4）=（2q2﹣1）2≥0，即E（Y）≥E（Z），

所以方案二更適合

【解析】（1）設X為3瓶該植物油中油樣呈陽性的瓶數，利用相互對立事件的概率計算公式可得所求的概率為P（X≥1）=1﹣P（X=0）．（2）設q=1﹣p，則0＜q＜1．方案一：設所需化驗的次數為Y，則Y的所有可能取值為2，4，6次，利用二項分布列的概率計算公式及其數學期望計算公式即可得出．方案二：設所需化驗的次數為Z，則Z的所有可能取值為1，5次，P（Z=1）=q4 ， P（Z=5）=1﹣q4 ， E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）．進而得出數學期望．