Question

已知正方形的內切圓和外接圓的面積之比為1：2，那么正方體的內切球、外接球以及與棱相切的球的體積之比為

1：3

3

：2

2

．

Answer 1

分析：設出正方體的棱長為a，分別求出正方體的內切球與其外接球的半徑，然后求出體積比．再根據長為a的正方體內有一個球，與這個正方體的12條棱都相切，則球的直徑等于正方體兩條不相鄰且平行的棱之間的距離結合球及正方體的幾何特征得到球半徑，代入球的體積公式，即可得到答案．

解答：解：設正方體的棱長為a，則它的內切球的半徑為

1

2

a，它的外接球的半徑為

3

2

a，
故所求的比為1：3

3

，
若球與這個正方體的12條棱都相切，
則球心在到12條棱的距離均相等
則球的直徑等于正方體兩條不相鄰且平行的棱之間的距離
即當正方體的棱長為a時，則球的直徑等于正方體任一面對角線的長度
∴2R=

2

a
則R=

2

2

a
則V=

4

3

πR3=

2

3

πa3
那么正方體的內切球、外接球以及與棱相切的球的體積之比為 1：3

3

：2

2

故答案為：1：3

3

：2

2

．

點評：本題考查正方體的內切球和外接球的體積等，是基礎題，其中根據正方體及球的幾何特征及已知條件求出球的半徑，是解答本題的關鍵．