Question

設f（x）=lg，如果當x∈（-∞，1]時f（x）有意義，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：當x∈（-∞，1]時f（x）=lg有意義的函數問題，
轉化為1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式問題．
不等式1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即：a＞-[（）^2x+（）^x]在x∈（-∞，1]上恒成立．
設t=（）^x，則t≥，又設g（t）=t²+t，其對稱軸為t=-
∴g（t）=t²+t在[，+∞）上為增函數，當t=時，g（t）有最小值g（）=（）²+=
所以a的取值范圍是a＞-．
分析：f（x）有意義，則真數大于0，所以問題轉化為1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式問題．分離參數，轉化為求函數的最值解決．注意到4^x=（2^x）²，換元法轉化為求二次函數在特定區間上的最值問題．
點評：本題考查對數函數的定義域、不等式恒成立問題，考查換元法和轉化思想．