Question

（2012•藍山縣模擬）定義F（x，y）=（1+x）^y，其中x，y∈（0，+∞）．
（1）令函數f（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1）），其圖象為曲線C，若存在實數b使得曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，求實數a的取值范圍；
（2）令函數g（x）=F（1，log₂[（lnx-1）e^x+x]），是否存在實數x₀∈[1，e]，使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．
（3）當x，y∈N，且x＜y時，求證：F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（1）先求出f（x）的解析式，設曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，建立等式，根據log₂（x³+ax²+bx+1）＞0消去b得-2x02-ax₀-8＜0，使得2x²₀+ax₀+8＞0 在-4＜x₀＜-1有解，求出a的取值范圍即可；
（2）先求g′（x）=（

1

x

+lnx-1）e^x+1，令h（x）=

1

x

+lnx-1，然后利用導數研究h（x）在區間[1，e]上的最小值，從而求出g′（x₀）的取值范圍，曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直等價于方程g′（x₀）=0有實數解，而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0無實數解，從而得到結論；
（3）令h（x）=

ln(1+x)

x

，x≥1，則h′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，令p（x）=

x

1+x

-ln（1+x），x≥0，利用導數研究p（x）在[0，+∞）上的單調性，從而得到函數h（x）在[1，+∞）上的單調性，即可證得結論．

解答：解：（1）f（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1，
設曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，
又由題設知log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，f′（x）=3x²+2ax+b，3x²₀+2ax₀+b=-8  ①
∴存在實數b使得-4＜x₀＜-1       ②有解，（3分）
x³₀+ax²₀+bx₀＞0  ③
由①得b=-8-3x02-2ax₀，代入③得-2x02-ax₀-8＜0，
∴由   2x²₀+ax₀+8＞0 在-4＜x₀＜-1有解，
得2×（-4）²+a×（-4）+8＞0或2×（-1）²+a×（-1）+8＞0，
∴a＜10或a＜10，∴a＜10、（5分）
（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，
∴g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1=

ex

x

+（lnx-1）e^x+1=（

1

x

+lnx-1）e^x+1．（6分）
設h（x）=

1

x

+lnx-1、則h′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
當x∈[1，e]時，h′（x）≥0．
h（x）為增函數，因此h（x）在區間[1，e]上的最小值為ln1=0，即

1

x

+lnx-1≥0．
當x₀∈[1，e]時，ex₀＞0，

1

x0

+lnx₀-1≥0，
∴g′（x₀）=（

1

x0

+lnx₀-1）ex₀+1≥1＞0．（8分）
曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直等價于方程g′（x₀）=0有實數解，
而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0無實數解．
故不存在實數x₀∈[1，e]，使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直．（9分）
（3）證明：令h（x）=

ln(1+x)

x

，x≥1，由h′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
又令p（x）=

x

1+x

-ln（1+x），x≥0，
∴p′（x）=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

≤0，
∴p（x）在[0，+∞）上單調遞減，
∴當x＞0時，有p（x）＜p（0）=0，
∴當x≥1時，有h′（x）＜0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞減，（11分）
∴當1≤x＜y時，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，
∴yln（1+x）＞xln（1+y），∴（1+x）^y＞（1+y）^x，
∴當x，y∈N^?，且x＜y時，F（x，y）＞F（y，x）．（13分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數求閉區間上函數的最值，同時考查了轉化的數學思想，屬于中檔題．