Question

已知函數f（x）=2^|x-m|和函數g（x）=x|x-m|+2m-8．
（Ⅰ）若m=2，求函數g（x）的單調區間；
（Ⅱ）若方程f（x）=2^|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[4，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m=2代入函數g（x）中，進而求得g（x）的函數表達式，進而根據二次函數的性質求得g（x）的單調區間．
（Ⅱ）由題意可知|x-m|=|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解．進而分別看x-m=-m和x-m=m時根據x的范圍求得m的 范圍．
（Ⅲ）通過分析題設條件可知f（x）的值域應是g（x）的值域的子集．進而看當4≤m≤8，m＞8，0＜m＜4和m≤0根據g（x）的單調性求得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）m=2時，g(x)=

x2-2x-4  (x≥2) -x2+2x-4(x＜2)

，
函數g（x）的單調增區間為（-∞，1），（2，+∞），單調減區間為（1，2）．
（Ⅱ）由f（x）=2^|x-m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，2^|x-m|=2^|m|，得|x-m|=|m|在x∈[-4，+∞）
恒有唯一解．當x-m=-m時，得x=0∈[-4，+∞）；
當x-m=m時，得x=2m，則2m=0或2m＜-4，即m＜-2或m=0．
綜上，m的取值范圍是m＜-2或m=0．
（Ⅲ）f(x)=

2x-m (x≥m) 2m-x(x＜m)

，則f（x）的值域應是g（x）的值域的子集．
①當4≤m≤8時，f（x）在（-∞，4]上單調減，
故f（x）≥f（4）=2^m-4，g（x）在[4，m]上單調減，[m，+∞）上單調增，
故g（x）≥g（m）=2m-8，
所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或6≤m≤8．
②當m＞8時，f（x）在（-∞，4]上單調減，
故f（x）≥f（4）=2^m-4，g（x）在[4，

m

2

]單調增，[

m

2

，m]上單調減，[m，+∞）上單調增，g（4）=4m-16＞g（m）=2m-8
故g（x）≥g（m）=2m-8，所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或m≥6．
③0＜m＜4時，f（x）在（-∞，m]上單調減，[m，4]上單調增，故f（x）≥f（m）=1．g（x）在[4，+∞）上單調增，故g（x）≥g（4）=8-2m，
所以8-2m≤1，即

7

2

≤m＜4．
④m≤0時，f（x）在（-∞，m]上單調減，[m，4]上單調增，故f（x）≥f（m）=1．g（x）在[4，+∞）上單調增，
故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即m≥

7

2

．（舍去）
綜上，m的取值范圍是[

7

2

，5]∪[6，+∞)．

點評：本題主要考查了函數單調性和及單調區間的問題．函數單調性的問題是函數的基礎知識，應熟練掌握．