Question

已知p：x∈A={x|x²-2x-3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x²-2mx+m²-9≤0，x∈R，m∈R}
（1）若A∩B=[2，3]，求實數m的值；
（2）若p是¬q的充分條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得A={x|-1≤x≤3，x∈R}，B={x|m-3≤x≤m+3，x∈R，m∈R}，因為A∩B=[2，3]所以m=5．
（2）B={x|m-3≤x≤m+3，x∈R，m∈R}可得C_RB={x|x＜m-3或x＞m+3，x∈R，m∈R}，因為p是¬q的充分條件，所以A⊆∁_RB，所以m＞6或m＜-4．
解答：解：（1）由題意得A={x|-1≤x≤3，x∈R}，B={x|m-3≤x≤m+3，x∈R，m∈R}，
∵A∩B=[2，3]如圖所示

∴m-3=2
∴m=5
所以實數m的值為5．
（2）由題意得q：x∈B={x|x²-2mx+m²-9≤0，x∈R，m∈R}
所以B={x|m-3≤x≤m+3，x∈R，m∈R}，
所以¬q：C_RB={x|x＜m-3或x＞m+3，x∈R，m∈R}，
∵p是¬q的充分條件，
∴A⊆∁_RB，
∴m＞6或m＜-4．
所以實數m的取值范圍是m＞6或m＜-4．
點評：本題不但考查集合的交集、并集、補集得知識點還結合不等式考查了充分條件的轉化、判斷及應用，充要條件的判斷也可以轉化為與兩個條件對應的兩個集合之間的判斷．