Question

數列{a_n}是公差為正數的等差數列，a₂、a₅且是方程x²-12x+27=0的兩根，數列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n=1-，
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，解方程x²-12x+27=0可得a₂、a₅，從而可得數列{a_n}的通項公式；由T_n=1-b_n可求得數列{b_n}的通項公式；
（2）c_n=a_n•b_n，利用錯位相減法可求數列{c_n}的前n項和S_n．
解答：解：（1）∵等差數列{a_n}的公差d＞0，a₂、a₅且是方程x²-12x+27=0的兩根，
∴a₂=3，a₅=9．
∴d==2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
又數列{b_n}中，T_n=1-b_n，①
∴T_n+1=1-b_n+1，②
②-①得：=，又T₁=1-b₁=b₁，
∴b₁=，
∴數列{b_n}是以為首項，為公比的等比數列，
∴b_n=•；
綜上所述，a_n=2n-1，b_n=•；
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）••，
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=1×+3××+…+（2n-1）××，③
∴S_n=×+3××+…+（2n-3）××+（2n-1）××，④
∴③-④得：S_n=+[+++…+]-（2n-1）××，
S_n=1+2[+++…+]-（2n-1）×
=1+2×-（2n-1）×
=2-×
=2-（2n+2）×．
點評：本題考查數列的求和，著重考查等差數列與等比數列的通項公式，突出考查錯位相減法求和，屬于中檔題．