Question

已知函數，設曲線在點處的切線與軸的交點為，其中為正實數．
（1）用表示；
（2）,若，試證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；
（3）若數列的前項和，記數列的前項和，求．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析，；（3） ．

試題分析：（1）直接利用導數得出切線斜率，寫出點處切線方程，在切線方程中令，就可求出切線與軸交點的橫坐標即；（2）要證明數列為等比數列，關鍵是找到與的關系，按題設，它們由聯系起來，，把用（1）中的結論代換，變為的式子，它應該與是有聯系的，由此就可得出結論；（3）按照要求，首先求出數列的通項公式，當然要利用（），直接等于，數列實際上是一個等差數列，那么數列就是由一個等差數列和一個等比數列的對應項相乘得到的新數列，其前項的求法是乘公比錯位相減法，即，記等比數列的公比是，則有
，兩式相減，即，這個和是容易求得的．
試題解析：（1）由題可得，所以在曲線上點處的切線方程為，即
令，得，即
由題意得，所以      5′
（2）因為，所以
即，
所以數列為等比數列故    10′
（3）當時，，當時，
所以數列的通項公式為，故數列的通項公式為
  ①
①的  ②
①②得
故       16′