Question

（本小題滿分12分）如圖，橢圓的頂點為，焦點為

，.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 設n 為過原點的直線，是與n垂直相交于P點，與橢圓相交于A, B兩點的直線，.是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；并說出；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解 : (Ⅰ)由知a²+b²=7,             ①

由知a=2c,           ②

又b²=a²-c²                                     ③

由 ①，②，③解得a²=4，b²=3，

故橢圓C的方程為 ………………… 4分

(Ⅱ) 設A、B兩點的坐標分別為，假設使成立的直線l存在，

(i) 當l不垂直于x軸時，設l的方程為，由l與n垂直相交于P點且得，即.  …………………………………………………… 5分

由得    ………………………………………………… 6分

將代入橢圓方程，得，

由求根公式可得 ④  

   ⑤     ………… 7分

將④，⑤代入上式并化簡得        ⑥

將代入⑥并化簡得，矛盾. 即此時直線不存在.  ………… 9分

（ii）當垂直于軸時，滿足的直線的方程為，

則A,B兩點的坐標為或

當時，

當時， ∴ 此時直線也不存在.  … 11分

綜上可知，使成立的直線不存在.                 ………………… 12分

【解析】略