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【題目】已知函數， .

（1）求函數的單調區間；

（2）若不等式區間上恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求證：

【答案】（1）函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為（2）

（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出，由，結合函數的定義域解得的范圍，就是函數的增區間；（2）問題轉化為大于等于的最大值，利用導數求得函數有最大值，且最大值為，得到；（3）先判斷，得，用放縮法證明，即得要證的不等式.

試題解析：（1）∵，故其定義域為，

∴，令，得，令，得.

故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）∵， ，∴，令

又，令解得.

當在內變化時， ， 變化如下表

+

0

-

由表知，當時函數有最大值，且最大值為，所以，

（3）由（2）知，∴（）

∴

∴

即

【方法點晴】本題主要考查利用導數研究函數的單調性、證明不等式以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題（2）是利用方法 ① 求得的最大值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】己知四棱錐中， 平面，底面是菱形，且． ， 、的中點分別為， ．

（Ⅰ）求證．

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得平行于平面？若存在，指出在上的位置并給予證明，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】讀下列各題所給的程序，依據程序畫出程序框圖，并說明其功能：

(1)INPUT “x＝”；x

IF x>1 OR x<－1 THEN

y＝1

ELSE y＝0

END IF

PRINE y

END

(2)INPUT “輸入三個正數a，b，c＝”；a，b，c

IF a＋b>c AND a＋c>b AND b＋c>a THEN

p＝(a＋b＋c)/2

S＝SQR(p*(p－a)*(p－b)*(p－c))

PRINT “三角形的面積S＝”S

ELSE

PRINT “構不成三角形”

END IF

END

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北偏東30°，俯角為30°的B處，到11時10分又測得該船在島北偏西60°，俯角為60°的C處．

(1)求船的航行速度是每小時多少千米？

(2)又經過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數， （為常數）.

(Ⅰ) 函數的圖象在點處的切線與函數的圖象相切，求實數的值；

(Ⅱ) 若， ，且，都有成立，求實數的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知常數，向量， ，經過點，以為方向向量的直線與經過點，以為方向向量的直線交于點，其中．

（）求點的軌跡方程，并指出軌跡．

（）若點，當時， 為軌跡上任意一點，求的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中， ．

（Ⅰ）當時， 的零點為______；（將結果直接填寫在橫線上）

（Ⅱ）當時，如果存在，使得，試求的取值范圍；

（Ⅲ）如果對于任意，都有成立，試求的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，離心率為，且點在該橢圓上。

（I）求橢圓C的方程；

（II）過橢圓C的左焦點的直線l與橢圓C相交于兩點，若的面積為，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖在棱錐中， 為矩形， 面， ， 與面成角， 與面成角.

（1）在上是否存在一點，使面，若存在確定點位置，若不存在，請說明理由；

（2）當為中點時，求二面角的余弦值.

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