Question

已知橢圓的離心率為，兩焦點之間的距離為4．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓的右頂點作直線交拋物線于A、B兩點，

（1）求證：OA⊥OB；

（2）設OA、OB分別與橢圓相交于點D、E，過原點O作直線DE的垂線OM，垂足為M，證明|OM|為定值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】(1)由2c=4,c/a=1/2,可求出a,進而求出b，問題解決.

（II）（1）若直線的斜率存在，可設直線方程為

然后與拋物線方程聯立，消去y轉化為,

借助韋達定理證明即可.

斜率不存在的情況要單獨考慮.

(2) 設、，直線的方程為，代入，得．于是．

，．可得．

再證明原點到直線的距離為定值

解：（Ⅰ）由得，故． ………………………3分

所以，所求橢圓的標準方程為 ……………………………4分

（Ⅱ）（1）若直線的斜率存在，可設直線方程為……………5分

代入拋物線方程整理得

設點A（）點B（），則，………7分

所以 ……………………………………………9分

若直線斜率不存在，則A（4,4）B（4，-4），同樣可得…………10分

（2）設、，直線的方程為，代入，得．于是．從而，．得．∴原點到直線的距離為定值…15分