Question

【題目】已知函數（R）．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若對任意實數，當時，函數的最大值為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（Ⅱ）

【解析】

試題（1）求函數的單調區間，實質上就是解不等式得增區間，解不等式得減區間；（2）函數的最大值一般與函數的單調性聯系在一起，本題中，其單調性要對進行分類，時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，不合題意，故有，按極值點與0的大小分類研究單調性有最大值．

試題解析：（1）當時，，

則，

令，得或；令，得，

∴函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．

（2）由題意，

（1）當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，此時，不存在實

數，使得當時，函數的最大值為．

（2）當時，令，有，，

①當時，函數在上單調遞增，顯然符合題意．

②當即時，函數在和上單調遞增，

在上單調遞減，在處取得極大值，且，

要使對任意實數，當時，函數的最大值為，

只需，解得，又，

所以此時實數的取值范圍是．

③當即時，函數在和上單調遞增，

在上單調遞減，要存在實數，使得當時，

函數的最大值為，需，

代入化簡得，①

令，因為恒成立，

故恒有，所以時，①式恒成立，

綜上，實數的取值范圍是．