Question

【題目】已知橢圓C：的焦距為2，左右焦點分別為，，以原點O為圓心，以橢圓C的半短軸長為半徑的圓與直線相切．

Ⅰ求橢圓C的方程；

Ⅱ設不過原點的直線l：與橢圓C交于A，B兩點．

若直線與的斜率分別為，，且，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標；

若直線l的斜率是直線OA，OB斜率的等比中項，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）直線過定點，該定點的坐標為；（ii）面積的取值范圍為

【解析】

試題（1）先根據拋物線的焦點得，再結合橢圓幾何條件得當點為橢圓的短軸端點時，△面積最大，此時，所以．（2）（i）證明直線過定點問題，一般方法以算代證，即求出直線方程，根據方程特征確定其過定點，本題關鍵求出之間關系即可得出直線過定點．由得，即，因此聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理可得；（ii）先分析條件：直線的斜率時直線，斜率的等比中項，即，，化簡得，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理可得，這樣三角形面積可用m表示，其中高利用點到直線距離得到，底邊邊長利用弦長公式得到：，最后根據基本不等式求最值

試題解析：（1）由拋物線的方程得其焦點為，所以橢圓中，

當點為橢圓的短軸端點時，△面積最大，此時，所以．

，為橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，△面積的最大值為1，

所以橢圓的方程為．

（2）聯立得，

，得（*）

設，，則，，

（i），，由，得，

所以，即，

得，

所以直線的方程為，因此直線恒過定點，該定點坐標為．

（ii）因為直線的斜率是直線，斜率的等比中項，所以，即，

得，得，所以，又，所以，

代入（*），得．

．

設點到直線的距離為，則，

所以 ，

當且僅當，即時，△面積取最大值．

故△面積的取值范圍為．