Question

19. 如圖，已知平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD.

（Ⅰ）證明：C₁C⊥BD；

 

（Ⅱ）當的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD？請給出證明.

Answer 1

19.本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關系，邏輯推理能力.

 

（Ⅰ）證明：連結A₁C₁、AC，AC和BD交于O，連結C₁O.

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD.

又∵∠BCC₁＝∠DCC₁，C₁C＝C₁C，∴△C₁BC≌△C₁DC，

∴C₁B＝C₁D.∵DO＝OB，∴C₁O⊥BD，       　

但　AC⊥BD，AC∩C₁O＝O，∴BD⊥平面AC₁.

又　C₁C平面AC₁，∴C₁C⊥BD.               　

 

（Ⅱ）當＝1時，能使A₁C⊥平面C₁BD.

 

證明一：∵＝1，∴BC＝CD＝C₁C，

 

又　∠BCD＝∠C₁CB＝∠C₁CD.

由此可推得　BD＝C₁B＝C₁D.

∴三棱錐C－C₁BD是正三棱錐.                    　

設　A₁C與C₁O相交于G.

∵A₁C₁∥AC，且A₁C₁∶OC＝2∶1，

∴C₁G∶GO＝2∶1.

又　C₁O是正三角形C₁BD的BD邊上的高和中線，

∴點G是正三角形C₁BD的中心，∴CG⊥平面C₁BD.

即　A₁C⊥平面C₁BD.                        　

 

證明二：由（Ⅰ）知，BD⊥平面AC₁，

∵A₁C平面AC₁，

∴BD⊥A₁C.            　　　                

當＝1時，平行六面體的六個面是全等的菱形，

同BD⊥A₁C的證法可得BC₁⊥A₁C.

又　BD∩BC₁＝B，

∴A₁C⊥平面C₁BD.