Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）．若函數f（x）在x=1處有極值-4．
（1）求f（x）的單調遞減區間；
（2）求函數f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數的導數，然后令f′（x）=0，解出函數的極值點，最后根據導數判斷函數的單調性，從而求解．
（2）由（1）求出函數的單調區間，可以運用導數判斷函數的單調性，從而求出函數f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

解答：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，依題意有f′（1）=0，f（1）=-4，
即

3+2a+b=0 1+a+b=-4

得

a=2 b=-7

．（4分）
所以f′（x）=3x²+4x-7=（3x+7）（x-1），
由f′（x）＜0，得-

7

3

＜x＜1，
所以函數f（x）的單調遞減區間（-

7

3

，1）．（7分）
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²-7x，f′（x）=3x²+4x+7=（3x+7）（x-1），
令f′（x）=0，解得x₁=-

7

3

，x₂=1．
f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

由上表知，函數f（x）在（-1，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增．
故可得f（x）_min=f（1）=-4，f（x）_max=f（-1）=8．（13分）

點評：此題主要考查多項式函數的導數，函數單調性的判定，函數最值，函數、方程等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，難度較大．