Question

已知數列{a_n}滿足：a₁+++…+=n²+2n，（其中常數λ＞0，n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式：
（2）當λ=4時，是否存在互不相同的正整數r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數列？若存在，給出r，s，t滿足的條件，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵a₁+++…+=n²+2n，①
∴當n=1時，a₁=3，
當n≥2時，a₁+++…+=（n-1）²+2（n-1）②
①-②可得=2n+1，∴a_n=（2n+1）λ^n-1，
經驗證，當n=1是上式也成立，
∴數列{a_n}的通項公式為：a_n=（2n+1）λ^n-1
（2）假設存在互不相同的正整數r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數列，
則（2s+1）²4^2s-2=（2t+1）4^t-1•（2r+1）4^r-1，
同除以4^2s-2，可得（2s+1）²=（2t+1）（2r+1）4^r+t-2s，
由奇偶性知r+t-2s=0，所以（2r+1）（2t+1）=（r+t+1）²，即（r-t）²=0．
這與r≠t矛盾，故不存在這樣的正整數r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數列．
分析：（1）由a₁+++…+=n²+2n，再寫一式，兩式相減，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）當λ=4時，a_n=（2n+1）•4^n-1，若存在a_r，a_s，a_t成等比數列，可得得（2r+1）（2t+1）4^r+t-2s=（2s+1）²，從而可得（r-t）²=0，與r≠t矛盾．
點評：本題考查數列的通項與求和，和分類討論的思想，屬中檔題．