Question

【題目】某地需要修建一條大型輸油管道通過720千米寬的荒漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站（又稱泵站）.經預算，修建一個增壓站的工程費用為108萬元，鋪設距離為千米的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為萬元.設余下工程的總費用為萬元.

（1）試將表示成關于的函數；

（2）需要修建多少個增壓站才能使總費用最��？

Answer 1

【答案】（1）；（2）19個

【解析】

（1）由題可知需要新建個增壓站，即可求得余下工程的總費用，得到函數的解析式；

（2）由（1）可得，利用導數求出的單調性與最值，即可得解.

解：（1）設需要新建個增壓站，且，即，

則關于的函數關系式為

；

（2）由（1）知，，，

令，得，解得，

當時，，在區間內為減函數，

當時，，在區間內為增函數，

所以在處取得最小值，

此時，即需新建19個增壓站才能使最小.