Question

（本小題滿分12分）設函數的圖象上兩點P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)，若，且點P的橫坐標為．

(1)，求證：P點的縱坐標為定值，并求出這個定值；

(2)，求

(3)，記T_n為數列的前n項和，若對一切n∈N*都成立，試求a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；(2)；(3).

【解析】本試題主要考查了函數，與向量，以及數列的知識的綜合運用。以函數為模型，確定點的坐標關系式，進一步結合向量得到結論，并利用倒序相加法求解和，同時利用裂項求和得到不等式的證明。

（1）由于點在函數圖像上，同時滿足，那么利用坐標化簡得到結論。

（2）根據f (x₁)＋f (x₂)＝y₁＋y₂＝1，f (1)＝2－，結合倒序相加法求解得到結論。

（3）根據已知的和式得到，裂項求和的數學思想得到證明。

(1)證：∵，∴P是P₁P₂的的中點Þx₁＋x₂＝1------(2分)

　　∴

 

    ∴．-----------------------------(4分)

(2)解：由(1)知x₁＋x₂＝1，f (x₁)＋f (x₂)＝y₁＋y₂＝1，f (1)＝2－，　　，

相加得

　　　　 (n－1個1)∴．------------(8分)

(3)解：

　　   --------------------（10分）　　　Û　　　∵≥8，當且僅當n＝4時，取“＝”    ∴，因此，-------------------（12分）