Question

（Ⅰ）已知f（x）+2f（

1

x

）=3x+3，求f（x）的解析式．
（Ⅱ）求函數f(x)=

-x2+6x-8

的單調區間和值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用方程組法求函數的解析式，以

1

x

代x代入方程，與已知方程聯立，即可求得函數的解析式；
（Ⅱ）確定函數的定義域，確定內函數的單調性，即可得到函數的單調區間，從而可得函數的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）+2f（

1

x

）=3x+3，∴f（

1

x

）+2f（x）=

3

x

+3
消去f（

1

x

），可得f（x）=

2

x

-x+1
∴f（x）的解析式為f（x）=

2

x

-x+1（x≠0）；
（Ⅱ）由-x²+6x-8≥0，可得x²-6x+8≤0，∴2≤x≤4，即函數的定義域為[2，4]，
令g（x）=-x²+6x-8=-（x-3）²+1，∴函數g（x）在（-∞，3）上單調遞增，在（3，+∞）上單調遞減
∴函數f(x)=

-x2+6x-8

的單調增區間為[2，3]，單調減區間為[3，4]，
∵0≤g（x）≤1，
∴函數的值域為[0，1]．

點評：本題考查函數的解析式，考查復合函數的單調性與值域，考查學生的計算能力，正確確定函數的定義域與內函數的單調性是關鍵．