Question

已知函數．
（1）若不等式f（x）＜k-2005對于x∈[-2，3]恒成立，求最小的正整數k；
（2）令函數，求曲線y=g（x）在（1，g（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數，知f′（x）=x²-1，令f′（x）=0，得x=±1，由此得到f（x）在x∈[-2，-1]上的最大值為f（3）=6，故要使得不等式f（x）＜k-2005對于x∈[-2，3]恒成立，等價于6＜k-2005恒成立，由此能求出最小的正整數k．
（2）由g（x）=f（x）-+x=-，知g′（x）=x²-ax，g（1）=，故切線方程為y-（-）=（1-a）（x-1），與坐標軸的交點為（0，-），（，0），由此能求出三角形面積的最小值．
解答：解：（1）∵函數，
∴f′（x）=x²-1，
令f′（x）=0，得x=±1，
當x∈[-2，-1]時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（-2）=×（-2）³-（-2）=-，f（-1）=-+1=．
當x∈[-1，1]時，f′（x）＜0，f（x）遞減，f（1）=-1=-，
當x∈[1，3]時，f′（x）＞0，f（x）遞增，f（3）=-3=6．
∴f（x）在x∈[-2，-1]上的最大值為f（3）=6，
要使得不等式f（x）＜k-2005對于x∈[-2，3]恒成立，
則6＜k-2005恒成立，解得k＞2011，
所以最小的正整數k為2012．
（2）∵g（x）=f（x）-+x=-，
∴g′（x）=x²-ax，g（1）=，
y=g（x）在（1，g（1））處的切線的斜率為g′（1）=1-a，
故切線方程為y-（-）=（1-a）（x-1），
化簡得y-（1-a）x+-a=0，與坐標軸的交點為（0，-），（，0），
又∵a≥2，∴-＜0，，
所以面積S==（）²，
∵S為遞增函數，
∴當a=2時，面積S_min==．
點評：本題考查滿足條件的最小實數值的求法，考查三角形面積的最小值的求法．綜合性強，難度大，解題時要認真審題，注意導數性質、分類討論思想、等價轉化思想的合理運用．