Question

已知函數f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)，則下列結論中，
（1）f（x）的最小正周期為π；
（2）f（x）的對稱軸為x=

2

3

π+2kπ(k∈Z)；
（3）點(

2π

3

，0)是f（x）的一個對稱中心；
（4）y=cos

x

2

的圖象向右平移

2π

3

得到f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)的圖象．
其中正確結論的序號為

②④

（把正確結論的序號都寫上）．

Answer 1

分析：根據三角函數中正弦函數的周期公式，可以判斷①的真假；根據對稱軸對應的函數值是最值，可以判斷②的真假；根據對稱中心的坐標可以判斷③的真假；根據三角函數的圖象的平移的大小和方向和誘導公式，可以判斷④的真假；進而得到答案．

解答：解：f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)對應的周期是T=

2π

1 2

=4π，故①不正確；
要判斷f（x）的對稱軸為x=

2

3

π+2kπ(k∈Z)，
只要把對稱軸代入得到y=f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)=sin（kπ+

π

3

+

π

6

），
當k是一個偶數時，結果等于1，當k是一個奇數時，結果是-1，都符合對稱軸的特點，故②正確；
要檢驗一個點是否是正弦函數的對稱中心，只要把橫標代入，看縱標是否為0，
而y=sin（

π

3

+

π

6

）=1，故這個點不是對稱中心，故③不正確；
把y=cos

x

2

的圖象向右平移

2π

3

得到f（x）=cos[

1

2

(-

2π

3

+x)]=cos（

x

2

-

π

3

）=sin（

x

2

+

π

6

）的圖象，故④正確．
綜上可知②④正確，
故答案為：②④

點評：本題考查命題的真假判斷及其應用，三角函數的周期公式的應用，正弦函數的對稱性包括軸對稱和中心對稱，圖象的平移變換和誘導公式的應用，本題解題的關鍵是熟練掌握三角函數的基礎知識，本題是一個中檔題目．