Question

若函數同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有 ②對于定義域上的任意，當時，恒有，則稱函數為
“理想函數”。給出下列四個函數中：⑴    ⑵   ⑶ 
⑷ ，能被稱為“理想函數”的有_        _ （填相應的序號） 。

Answer 1

（4）

依題意，性質①反映函數f（x）為定義域上的奇函數，性質②反映函數f（x）為定義域上的單調減函數，
⑴ 為定義域上的奇函數，但不是定義域上的單調減函數，其單調區間為（-∞，0），（0，+∞），故排除（1）；
⑵  為定義域上的偶函數，排除（2）；
⑶ 定義域為R，由于y=2^x+1在R上為增函數，故函數f（x）為R上的增函數，排除（3）；
⑷ ，的圖象如圖：

顯然此函數為奇函數，且在定義域上為減函數，故（4）為理想函數故答案為 （4）