Question

【題目】已知分別為橢圓的上、下焦點，是拋物線的焦點，點是與在第二象限的交點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）與圓相切的直線交橢圓于，若橢圓上一點滿足，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）且，且.

【解析】

試題分析：（1）利用拋物線的方程和定義，即可求出點的坐標，再利用橢圓的定義即可求出橢圓的方程；（2）根據直線與圓相切，則圓心到直線的距離定于半徑，可得，聯立直線與橢圓方程，結合橢圓上一點滿足，可得的表達式，進而求出實數的取值范圍.

試題解析：（1）由題知，所以，

又由拋物線定義可知，得，

于是易知，從而，

由橢圓定義知，得，故，

從而橢圓的方程為.

（2）設，，，則由知，

，，且，………………①

又直線與圓相切，所以有，

由，可得，………………②

又聯立，消去得.

且恒成立，且，，

所以，所以得

代入①式得，所以，

又將②式代入得，，，，

易知，且，所以.

所以的取值范圍為且，且